【乐理101】十二，一个神秘数字引发的革命

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本期知识点：

1. 十二平均律是将八度等比例地划分为十二个音的定律方式。平均律中的音的音高频率与纯律和五度相生律得到的音高尤为近似，因此听感上能够被人耳接受。

2. 由于平均律中，相邻音高之间倍数是固定不变的，因此在转调上特别容易，只需将整体音高平移几个音程即可。纯律和五度相生律则不行。所以现代音乐多以十二平均律定调。

3. 由于等比的倍数关系，我们可以把音程的比例关系转化成整数关系，以半音程为最小单位刻度来衡量音程距离。

4. 音程常用单位有半音，全音，以及度。两个半音程组成全音。而多个半音可以组成不同的度数，用度数来讨论比较大的音程相比用半音程更加方便。

我们介绍巴赫时，除了提到他是巴洛克时期的顶峰人物，一生“多产”之外（不光是作品多，而且他有二十个孩子），常常会带出一个音乐名词叫十二平均律。平均律的诞生在音乐史上意义重大，它是欧洲音乐摆脱中世纪中古调式，走向现代音乐中能够随意变调的一把钥匙。你能想象在平均律之前，每一种曲调的调音都不同，乐曲想转一个调是多费周章的一项工程吗？同样，平均律对中国人来说也是可以和四大发明一样，令国人自豪的一个创造。历史上记载十二平均律的推算者是明朝的朱载堉。不同于圆周率等其他中国早期数学发现，朱载堉在平均律的创始人地位是在世界上被公认的。怎么样，你是不是对十二平均律感到好奇了呢？今天就来为你揭开十二平均律的奥秘。

上两节课，我们普及了八度、五度和三度这三个存在简单整数倍关系的音程，以及由这些音程推演出来的纯律和五度相生律。在文末讲到，纯律和五度相生律并不完美，八度中并不是每一个唱名之间的音程都是协和的，因此需要探索一种更优的解决手法。

现在我们知道，想要在八度中定出一个让Do Re Mi Fa Sol La Ti都感到开心的音程和音律，曾经是多么令音乐家困扰的事情。好在，十二平均律出来拯救世界了！

1. 什么是十二平均律

十二平均律，或平均律, 是将八度的二倍音程等比例地划分为十二份的定律方式。它让每一个临近的音在音程上都是同样的倍数关系。这每一个音和主音Do[1]组成的音程的倍数关系分别是2n/12，n=0到12。（当n=12，倍数正好是二倍即纯八度，它对应的音名和当n=0时纯一度上的音是一样的。所以去掉12，从0数到11正好产生十二个不一样的音名。）

虽然十二平均律是人们通过幂运算凭空创造出来的数学概念，这种律制中的音与音之间并没有正整数倍关系（除了八度），但是它的十二个音中恰好有七个音，在音高倍数关系上和纯律以及五度相生律中的Do Re Mi Fa Sol La Ti极为接近——以至于如果我们用十二平均律来定义音程的话，耳朵并不会明显地察觉到异样。七个音与Do[1]之间的音程分别近似于以下这些倍数关系：

上图比较了在三种不同音律定义下，每个音在音高上的差异。我们发现十二平均律这个人工产物生成的音程竟然和五度相生律以及纯律里有自然倍数关系的音程是那么的接近，怪不得耳朵不会听着觉得古怪！（或者反过来说，我们的耳朵竟然能够自动将复杂的倍数关系约成简单的倍数关系来消化感受！）

不仅大二度是这样，在平均律中，任何相同的音程度数都不会随着音高的升降而改变。将调里面的所有组成音都升高或降低几度时，调内音程的倍数关系是不会更改的。因此，使用平均律的乐器可以轻松地完成转调的工作，而不需要每次为不同的调来调整音高的设置了。（调是什么，怎么理解转调，我们会在第六课详述。）

由于其实用性，平均律的诞生席卷了一场音律革命，把纯律和五度相生律等等都赶进了角落里。可为什么古人会想到把八度划分成十二等分呢？由五度相生律推算出的第十二个音，它和起始音高的音程约为两倍。而二倍即一八度。可能就是这个原因，使得当时的人们想到通过把十二个音进行细微的调整来构建八度了。

十二真是个神奇的数字！谈起十二这个数字时，我们还会想到什么？一年有十二个月份，一英尺有十二个英寸，一个钟表有十二个刻度。这或许是上帝的神来一笔，或许一切都只是巧合。但无论如何，由十二这个数字推算出来的平均律特别好用。

2. 半音、全音与度数

（给理工科人的解释：我们通过把音程倍数取 log_2 将音高频率间的指数关系转化成了线性关系）

知道了半音这个音程概念，我们可以将之前所有的音以半音为刻度来度量。比如说Do[1]到Re[2]之间的大二度，是由两个半音组成的。Do[1]到Sol[5]之间的纯五度，是由七个半音组成的。Mi[3]到Ti[7]之间差了11减4也是七个半音，因此它们之间也是纯五度的关系。

比半音大一点的单位叫全音程或全音，全音是由两个半音程叠加组成的，等价于大二度。仔细的朋友已经发现，Do[1] Re Mi Fa Sol La Ti Do[8]相邻两个音之间音程只有两种关系，一种是全音，一种是半音。Mi[3]到Fa[4]以及Ti[7] Do[8]之间都是半音，而剩下相邻音之间则都是全音。（请务必牢记这个规律！）因此，有些情况用全音与半音一起描述音程比直接用半音来得更便捷。

另外一种讨论音程的单位是度，度用来描述比半音和全音要大的音程时更加方便。纯五度，大三度，这些都是度数。（具体度数名称下一讲会细谈）如果说半音是“厘米”的话，全音的作用就有点像大一些的“分米”，那度数就相当于“米”了。当然在一些的音乐中存在“毫米”的概念，这样的音乐叫“微分音音乐”，但是我们在这就不做讨论了。

总结一下今天这一讲。我们首先介绍了十二平均律，这个发现解决了现代音乐中转调上的困难。然后，我们学习了如何抛开音程比例关系，转而使用抽象出来的“半音程”作为“长度”单位来衡量音程之间的“距离”。现在经过了前两讲的铺垫，你应该对半音音程这个刻度在数学上有了比一般人更深入的体会了吧？它是我们用来垒起音乐大厦的一块块砖头。

在八度的十二个音中，我们只定义了Do Re Mi Fa Sol La Ti七个音，剩下还有五个音是什么呢？ 下一讲，我们会正式地命名由十二平均律发展出的十二个音和十二个音程，并让你理解英文字母ABCDEFG在音乐中的作用，以及“大”、“小”、“纯”、“增”、“减”都是什么意思。

P.S.

1. 这篇文章看完之后，除了可以尝试课后练习之外，

强烈推荐 大家用音频来直观地体验一下八度中每一个音程的协和与不协和感。你可以将它们与纯律表中的音程的音高倍数作对照，亲自感受倍数的简单程度与音程的协和性的关系。这对将来的学习大有帮助。

切记，学习音乐，不能只学习乐理，同时也需要训练你的耳朵，听懂音乐，记住音乐，创造音乐。不然就沦为了纸上谈兵。

2. 巴赫当时使用的并不一定是平均律（Equal Temperament），而是和平均律一样便于转调的律制：优良律（Well Temperament）。平均律拥有均等的半音程，而优良律并不一定需要，定义更为宽泛。因此平均律可以理解为是优良律当中的一个特例。（“优良律”是我自己翻译的，这个词之前在国内被翻译成平均律，容易造成混淆）